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Matematici & Calcolo combinatorio
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Autore:  Leon [ sab 15 set 2012, 20:37 ]
Oggetto del messaggio:  Matematici & Calcolo combinatorio
Ciao! Posto in questa sezione perché la mia domanda rasenta l'off-topic, spero me lo perdoniate ma viggiuro che "ha a che fare con magic".

Mi sono imbattuto in una domanda, che ha generato chaos e ricerche frenetiche e frustrazione:

"ma se nel mio mazzo (60carte) ho 4 mishra's workshop, e 4 metalworker qual è la probabilità (percentuale) che la mia mano iniziale (7 carte) contenga almeno 1 copia di ogni suddetta carta?"

in teoria è facile:

calcolo le totali possibili combinazioni di una mano di 7 carte su un mazzo di 60 carte (e GIA' non so come fare, ne' come gestire con una calcolatrice un numero così grande)

e lo divido per il numero di "eventi/combinazioni favorevoli". e qui ho ancora più difficoltà perché non so calcolare quante possibili combinazioni favorevoli ci possano essere!
(4 combinazioni da 4 mishra & 3 metalworker + 4 combinazioni da 3 mishra & 4 metalworker... ma poi? le combinazioni inferiori sono TROPPE da calcolare, e non so come farlo a mente....)


Bene, esposto il mio problema, sarò cmq contentissimo se qualcuno mi dicesse semplicemente la risposta in percentuale alla mia domanda (oppure 13.000 combinazioni favorevoli su 34 milioni di combinazioni possibili) ma donerò eterna gratitudine ed una palude M13 foil (bomba!) a chi si farà la sbatta di spiegarmi quali formule e ragionamenti ha applicato per porre la domanda in modo "matematico/scientifico/con un'equazione"

cyaaa!
Autore:  Sorolot [ sab 15 set 2012, 20:40 ]
Oggetto del messaggio: 
4 copie = 39% circa.

per tutte le statistiche basta che metti il tuo deck su [url]mtgdeckbuilder.net[/url] , puoi fare dei test in goldfish, ti da la curva di mana e le percentuali nella mano iniziale, percentuale di colori etc etc.

inoltre hai una visione d'insieme del mazzo migliore
Autore:  Haakon [ sab 15 set 2012, 20:42 ]
Oggetto del messaggio: 
mano di 7 carte con 1 workshop e 1 metalworker:

casi favorevoli: (4 su 1)*(4 su 1)*(52 su 5)
casi possibili: (60 su 7)

(x su y) è un coefficiente binomiale = x! / (y!(x-y)!)
e x! = x*(x-1)*...*1

poi devi ripetere il conto per tutti i casi che ti interessano:
1shop+2worker+4random, 2shop+1worker+4random, ..., 3shop+4worker

e sommare le probabilità

guardati qui come si calcolano le 'combinazioni semplici (senza ripetizione)':
http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_combinatorio
Autore:  Yawgmoth90 [ sab 15 set 2012, 21:06 ]
Oggetto del messaggio: 
La probabilità di almeno 1 workshop e 1 metalworker conviene calcolarla come 1-probabilità di non averle entrambe, ossia:

1 - (prob di nessun workshop + prob di nessun metalworker - prob di nessun workshop nè metalworker) =
=1 - [2*(56 su 7) - (52 su 7)]/(60 su 7) =
=1 - 0.855 = circa 14.5%
Autore:  Haakon [ sab 15 set 2012, 21:23 ]
Oggetto del messaggio: 
giusto, è molto + agile
Autore:  Yawgmoth90 [ sab 15 set 2012, 21:36 ]
Oggetto del messaggio: 
La probabilità di non averne nessuna delle 8 è (combinazioni di 7 carte prese tra le altre 52)/(combinazioni totali) = (52 su 7) / (60 su 7) se vedi nel mio conto il denominatore è raccolto tra tutte le possibilità... Per quanto riguarda il tuo (8 su 0) intanto fa 1, ma comunque non vedo perchè mettercelo :-)

EDIT: forse mi sono spiegato male. Se fai solo 1 - prob di nessuna delle 8 carte, stai calcolando la prob di avere almeno una di quelle 8 carte in mano, quindi includi il caso di avere 1/2/3/4 metalworker e 0 workshop, e viceversa.
Invece il conto che ho fatto è 1-probabilità di non avere contemporaneamente 1 workshop e 1 metalworker, che si calcola come ho detto.

EDIT2 per Haakon:
se fai prob nessun metalworker + prob nessuna workshop, stai considerando 2 volte i casi di "nessuno dei 2", è per quello che alla fine li sottraggo
Autore:  Leon [ sab 15 set 2012, 21:56 ]
Oggetto del messaggio: 
genialata di Yawgmoth nel rendere le cose più matematicamente semplici: tanti punti intelletto per Yawgmoth!

Però rimangono dei calcoli per me complicatissimi.

Mega punti bonus per Håkon perché, se non erro, mi ha dato la formula per ricavare i "numeri fattoriali"

http://it.wikipedia.org/wiki/Fattoriale

quindi. facciamo una cosa alla volta.

ribadisco che la domanda riguarda l'"apertura perfetta" quindi con almeno UNA copia di ENTRAMBE le carte.

Quindi, secondo la formula di håkon, le COMBINAZIONI POSSIBILI di un mazzo di 60 carte, pescandone 7 (perché potremmo anche simulare on the draw, quindi con 8. ma una cosa alla volta) sono:

"(x su y) è un coefficiente binomiale = x! / (y!(x-y)!)
e x! = x*(x-1)*...*1 "

ovvero

60 su 7
60! / (7!*53!)

ma come trovo i numeri "n!" ? devo fare:

60! = 60 moltiplicato 59 moltiplicato 58 moltiplicato 57*56*55*54 e così via fino ad *4*3*2*1
e quello che ottengo alla fine è il "significato" di "60!"

60! = 8.32098711274139e+81

cosa cazzo vuol dire?! (ho usato questa calcolatrice http://www.dossier.net/utilities/calcol ... index.html )

Perché c'è un punto, e la lettera "e" ? ci sono 81 "0" da aggiungere dopo?
Autore:  Yawgmoth90 [ sab 15 set 2012, 22:08 ]
Oggetto del messaggio: 
I conti vanno semplificati opportunamente, io li ho fatti con la calcolatrice di Windows :-p
Dunque... Il binomiale (x su k)=x!/[(x-k)!*k!] ti dice in quanti modi puoi formare un sottoinsieme di k elementi da un insieme di x elementi. Se unisci questo al concetto di probabilità (casi favorevoli/casi totali) viene fuori ciò che abbiamo detto.
Per quanto riguarda i calcoli: nel binomiale considera il pezzo x!/(x-k)! : lo puoi semplificare come x*(x-1)*(x-2)*....*(x-k+1). {Esempio pratico: 60!/(60-7)! = 60! / 53! = (60*...*54*53*...*2*1)/(53*52*...*2*1) = 60*59*...*54 }

A questo punto se guardi la formula rimane solo il k! a denominatore, che calcoli facilmente col tastino "!" della calcolatrice di Windows (in modalità scientifica)

L'esempio (60 su 7) lo calcoli quindi come (60*59*...*54)/7!
Autore:  hadhod [ sab 15 set 2012, 22:27 ]
Oggetto del messaggio: 
vero, ma 60!/53! diventa 60*59*58*57*56*55*54*(53!) / 53!, ovvero

60*59*58*57*56*55*54 like 3.5 E11

edit: anticipato! siete cattivi, io le studio queste cose xD

cmq, la lettera e+81 indica 10^81
Autore:  chronomancer [ sab 15 set 2012, 22:29 ]
Oggetto del messaggio: 
Direi che in questi casi di probabilità combinate multiple si debba usare una distribuzione ipergeometrica... credo che excel abbia una funzione per calcolarla.

E' da tanto che non faccio calcolo combinatorio, correggetemi se sbaglio... ^^
Autore:  hadhod [ sab 15 set 2012, 22:31 ]
Oggetto del messaggio: 
chronomancer ha scritto:
Direi che in questi casi di probabilità combinate multiple si debba usare una distribuzione ipergeometrica... credo che excel abbia una funzione per calcolarla.

E' da tanto che non faccio calcolo combinatorio, correggetemi se sbaglio... ^^


ma le distrubuzioni, non danno la probabilità diretta, dovresti poi integrarla in un determinato spazio campione. non so se è il modo più semplice per arrivarci xD
Autore:  Leon [ sab 15 set 2012, 22:42 ]
Oggetto del messaggio: 
ho "intuito" il procedimento di semplificazione della "k", ma assolutamente non l'ho fatto mio ;)

MI FIDO! E sulla fiducia provo ad abusare della tua pazienza e delle tue formule..

allora, se "L'esempio (60 su 7) lo calcoli quindi come (60*59*...*54)/7!"

abbiamo

1.946.482.876.800 / 5040
=
386.206.920

Quindi, un ipotetico mazzo di magic di 60 carte, tutto di 1x, ha quasi 400mila combinazioni iniziali UNICHE.

Mentre OGNI mazzo di Magic di 60 carta ha quasi 400 mila combinazioni iniziali.
Molte molte delle quali saranno "identiche" fra di loro, ma diverse, a seconda di quante copie uguali di certe carte vi siano.


Quindi, semplificando le cose, sapresti dirmi la formula per calcolare il numero di DIFFERENTI COMBINAZIONI UNICHE di questo ipotetico mazzo (lo megasemplifico)

pescando un tot di 5 carte (valore K) (chiamiamolo K ;) come mano iniziale! (non 7, complichiamo le cose)

A - 4 rito oscuro
B - 4 spettro ipnotico
C - 3 hymn to Tourach
D - 2 duress
E - 2 thoughtseize
F - 1 extirpate
Z - 14 palude

carte tot: 30 (S)

e ancora, siccome sono logorroico e abuso delle skills altrui, sempre prendendo il mazzo di cui sopra e pescando 5 carte, la formula per calcolare quante probabilità ho di avere, come "mano favorevole", ALMENO una palude, ALMENO un rito oscuro ed ALMENO un hymn to tourach.

Idealmente, con queste formule in mano, dovrei diventare indipendente e poterle applicare a qualunque altro mazzo, cambiandone i fattori.

MammaMia Matematica&Magic!


Ah, una curiosità, che studi avete fatto per masticare queste cose? O le sapete a tempo perso?
Autore:  Haakon [ sab 15 set 2012, 22:43 ]
Oggetto del messaggio: 
bah si studiano alle superiori mi pare. poi all'università sicuro se non fai robe umanistiche


@hadhood: è una distribuzione discreta, non la devi integrare, ma sommare le probabilità da un certo stato in giù

mi pare è lo stesso modo di arrivarci, perchè la funzione di massa dell'ipergeometrica è fatta da coefficienti binomiali a rapporto

che poi vanno sommati...

insomma, formula e risultato, dai
Autore:  chronomancer [ sab 15 set 2012, 22:51 ]
Oggetto del messaggio: 
hadhod ha scritto:
chronomancer ha scritto:
Direi che in questi casi di probabilità combinate multiple si debba usare una distribuzione ipergeometrica... credo che excel abbia una funzione per calcolarla.

E' da tanto che non faccio calcolo combinatorio, correggetemi se sbaglio... ^^


ma le distrubuzioni, non danno la probabilità diretta, dovresti poi integrarla in un determinato spazio campione. non so se è il modo più semplice per arrivarci xD


Se la distribuzione è discreta, non si integra. ^^
Autore:  Leon [ sab 15 set 2012, 22:54 ]
Oggetto del messaggio: 
hadhod ha scritto:
cmq, la lettera e+81 indica 10^81



In termini pratici, sono il numero di "0" dopo la cifra? o devo farci un'altra operazione? (se si, quale)


nel senso...

4.756e+3 = 4.756.000

?
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